100.5.3數位邏輯設計

電腦的硬體元件是由邏輯電路(logic circuit)所組成，而邏輯電路是由可以完成

某些功能的邏輯匣（logic gate）所組成，邏輯匣可以接受一個或多個輸入訊號，

然後產生一個或多個輸出訊號，至於邏輯電路的分析與設計則是透過布林代數

（boolean algebra）。

例子:

這是兩個二元變數X、Y進行相加的結果，SUM代表和，CARRY代表進位：

上圖為真值表：

1.AND運算子：通常以‧或 *來表示AND運算子，F為布林函數，

則F（X,Y）＝X‧Y或F（X,Y）＝X * Y或F（X,Y）＝XY

＝＞只有2個運算元均為1，結果是1，其他情況為0

2.OR 運算子：通常以 + 來表OR 運算子，F為布林函數，

  則F（X,Y）＝X＋Y

＝＞只有2個運算元均為0，結果是0，其他情況為1

3.NOT運算子：通常以′來表NOT運算子，F為布林函數，

  則F（X）＝X’

＝＞為該運算元的補數，當運算元為1則結果為0，當運算元為0則結果為1

範例:

F（X,Y,Z）＝XY＋（X’+Z’）（Y＋Z） 且X=1，Y=1，Z=0 求布林函數值

          ＝X‧Y‧Z＋（X’ + Z’）（Y＋Z）

          ＝1‧1‧1＋（0‧1）（1+0）

          ＝1＋0‧1

          ＝1+0

          ＝1

※布林函數恆等式可參考書本P6-8頁

邏輯簡化：透過布林代數運算或卡諾圖將布林函數簡化。

1.積項：兩個或以上個二元變數以AND運算子連接在一起，例如XY、X’Y’Z’、Y’Z。

2.和項：兩個或以上個二元變數以OR運算子連接在一起，例如X + Y、X’ + Y’ + Z’、Y’ + Z 。

3.最小項：積項中每個二元變數均要出現一次，例如有X、Y、Z三個變數，那麼XYZ、X’YZ’ 等積項均屬於最小項。

4.最大項：和項中每個二元變數均要出現一次，例如有X、Y、Z三個變數，那麼X + Y + Z、X’ + Y + Z’ 等和項均屬於最大項。

5.積項之和：以OR運算子連接各個積項，例如XY + X’Y’Z’ + Y’Z。

6.和項之積：以AND運算子連接各個和項，例如 (X + Y)(X’ + Y’ + Z’) 。

7.最小項之和：意義與積項之和相似，不同的是以OR運算子連接各個最小項，例如XYZ + X’YZ’ + XYZ’ 。

8.最大項之積：意義與和項之積相似，不同的是以AND運算子連接各個最大項，例如 (X + Y + Z)(X’ + Y + Z’)(X + Y + Z’) 。

卡諾圖：用來進行邏輯簡化的另一種表示法。

（一）包含2個二元變數的卡諾圖

    

將F(X, Y) = XY + XY’ 簡化為積項之和：

  1.F(X, Y) = m3 + m2 = Σm(2, 3)。

  2.XY’ + XY = (X)(Y’ + Y) = X。

（二）包含3個二元變數的卡諾圖

將F(X, Y, Z) = X’YZ + X’YZ’ + XYZ + XY’Z簡化為積項之和：

1. F(X, Y, Z) = m2 + m3 + m5 + m7 = Σm(2, 3, 5, 7)。

 

  2.X’YZ + X’YZ’+ XY’Z + XYZ = (X’Y)(Z + Z’) + XZ(Y’ + Y) = X’Y + XZ。